Ohje, das wird Dir jetzt nicht gefallen

Ich plädiere nach wie vor erst auf Austausch AGR Thermostat.
Fehler Zusatzwasserpumpe hat meiner auch, liegt aber in dem Fall daran, dass bei meinem (keine Standheizung aber Webasto Diesel-Zuheizer) die Freischaltung der Standheizung damals wohl nicht ganz richtig gemacht wurde.
Da das Auto eben nur Klimaautomatik hat hat mein Wagen gar keine Zusatz-WaPu. Leider "denkt" es aber aufgrund der (fehlerhaften?) Standheizungsfreischaltung, dass die da sein müsste und bemängelt deren Fehlfunktion.
Bei mir zeigt dieser ZusatzWaPu Fehler keinerlei negative Begleiterscheinungen - Zuheizer läuft bestens, seit gewechseltem AGR Thermostat wird Motor auch wieder warm, alles gut...
Aber da muss ich natürlich drauf verweisen, dass es sich eben um nen E39 M57 und nicht um nen E66 M57N2 handelt. Kann also durchaus sein, dass @peterpaul Recht hat! (Auch wenn ich glaube es ist das AGR Thermostat

).
Die von Dir angegebenen Temparaturmesswerte decken sich mit denen, die ich vor dem Thermostat Tausch gemessen habe - teilweise bei sehr kalten Aussentemperetauren ( < -10 Grad) auch noch darunter.
Zum Glück sind beides wohl keine kostspieligen Sachen.
Jetzt ist es Deine Entscheidung womit es losgeht
Have fun + good luck,
Markus