Wenn Du die Batterie bereits ausgebaut hast, kannst Du sie natürlich auch außerhalb des Fahrzeugs (z.B. im Haus) laden. Im Auto geht auch.
"Direkt" laden ist ausgebaut einfacher, da Du das Ladegerät dann ja auch direkt an der Batterie anschließt
Die Temperaturanzeige auf max klingt seltsam.
Ein "Klassiker" für seltsame Elektrikfehler ist auch ein defekter Zündanlasschalter (ZAS). Das wäre ansonsten mein nächster Kandidat, wenn eine intakte & voll geladene Batterie keine Besserung verspricht.
Der ZAS ist nicht teuer und der Wechsel nicht wahnsinnig kompliziert.
Teste aber erstmal die Variante mit der Batterie.