Die EWS sperrt auch, bzw. läßt den Strom zum Anlasser auch nicht durch
Elektronische Wegfahrsicherung EWS 2
Mein Tipp währe mal beide Batterien bei den Schlüssel generell zu erneuern.
Den Tausch aber sehr zügig machen, da sonst die Schlüssel neu an das Auto angelernt werden müssen.
Bedenke aber, das es sowas wie einen "Master-Key" gibt.
D.h. einer aus der Reihe der Schlüssel kann nur die Anderen mit Anmelden.
Es steht nirgents in den Papieren von BMW ist aber @Swordfisher darauf gekommen, weil ich die Schlüssel nicht der Reihe nach im Zündschloß getestet habe. Sondern es aufgab, daß nur 1 Schlüssel sich initialisieren ließ