Wie das bei 1&1 läuft ist doch eigentlich recht klar
hier beschrieben.
Verkürzt gesagt: Du stellst den KK-Antrag beim alten Hoster, bekommst dann den Auth-Code, teilst diesen dann (in der Regel online per Formular) dem neuen Hoster die Domains und die dazugehörigen Auth-Codes mit und den Rest erledigen dann die Hoster.
Bis die Domains dann auch weltweit in den DNS-Systemen "umgebogen" sind können nach meiner Erfahrung bis 24 Stunden vergehen. Dementsprechend macht es Sinn in diesem Zeitraum noch Mail- und ander Dienste auch beim alten Anbieter noch aktiv zu lassen.