Hallo und willkommen,
was hast'n da gekauft !?! Das ist auf keinen Fall ein "ganz normaler 7er" eher ein schlecht gewarteter 7er. Er hat zwar typische Fehler aber diese rühren teilweise aus schlechter Wartung.
Egal, wir wollen ja helfen und nicht meckern.
Zum PDC, wenn ein Sensor defekt ist, sollte das PDC ca. 3 -5 Sek lang einen Dauerton von sich geben. ansonsten kann auch der "Gong" defekt sein, der das Piepgeräusch macht, der sitzt irgendwo beim Handschuhfach. Teste mal den Gong (Licht an und Zündschlüssel rausziehen - sollte dann gongeln). Wenn der fundzt, dann ist entweder ein Sensor defekt oder das PDC Steuergrät.
Zum weißen Qualm: Wann qualmt er - jetzt wo es kalt ist oder auch bei warmen Temperaturen? Qualmt er permanent, aus beiden Seiten? Wenn ja, dann kann es Kopfdichtung sein. Hierzu das Kühlwasser mal von einer Werkstatt checken lassen (CO2 Kontrolle) ebenfalls das Öl auf Wasserablagerungen kontrollieren. Könnte auch die Ursache deines unrunden Motorlaufes sein. Kontrolliere auch noch die Zündkerzen. Ein problem mit dem Kat erzeugt keinen weißen Qualm - das ist definitiv nicht die Ursache! Weißer Qualm ist bedeutet klassisch: Kühlwasser in der Verbrennung.
Getriebe: Klingt nicht nach 174.000 km
. Versuche mal nen Getriebeölwechsel (mit Filtertausch), mehr kann man da nicht machen. Ich vermute dass das Sieb dicht ist oder Öl fehlt, das führt zu niedrigem Öldruck und verursacht ein "flattern" der Druckventile, was zu Vibrationen führen kann, da dann die Kupplungen im Getriebe rutschen, das Problem tritt meist bei niedrigen Drehzahlen auf, in dem Moment wo man nur sehr leicht Gas gibt, teste mal ob das auch bei den anderen Stufen so ist. Ölwechsel / Filterwechsel bewirken meist Wunder - versuche erst mal das.
Im schlimsten Fall ist das Getriebe bereits hinüber umd muss überholt werden (ca. 2000€ bei ZF).